Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Jawabannya
Dalam matematika, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio. Deret geometri tak hingga adalah jumlah tak hingga dari suku-suku dalam barisan geometri.
Untuk memahami konsep ini lebih dalam, mari kita simak contoh soal dan pembahasannya berikut ini.
Barisan Geometri
Hitunglah suku ke-n dari barisan geometri berikut: 2, 4, 8, 16, …
Dalam barisan geometri, suku ke-n dapat dihitung menggunakan rumus:
$$U_n = a \cdot r^n-1$$
di mana:
- $U_n$ adalah suku ke-n
- $a$ adalah suku pertama
- $r$ adalah rasio
Pada contoh ini, suku pertama ($a$) adalah 2 dan rasionya ($r$) adalah 2. Sehingga, suku ke-n ($U_n$) dapat dihitung sebagai:
$$U_n = 2 \cdot 2^n-1$$
Deret Geometri Tak Hingga
Jika barisan geometri memiliki suku pertama (a) dan rasio (r), hitunglah jumlah tak hingga dari suku-sukunya (S).
Untuk barisan geometri, jumlah tak hingga suku-sukunya dapat dihitung menggunakan rumus:
$$S = \fraca1-r, \text jika |r| < 1$$
di mana:
- $S$ adalah jumlah tak hingga suku-suku
- $a$ adalah suku pertama
- $r$ adalah rasio
Dalam rumus ini, deret geometri dikatakan konvergen jika nilai absolut rasio ($|r|$) kurang dari 1. Artinya, suku-suku dalam barisan geometri akan mendekati 0 saat n mendekati tak hingga.
Tips Membahas Soal Deret Geometri Tak Hingga
- Identifikasi A dan R: Langkah pertama adalah mengidentifikasi suku pertama (a) dan rasio (r) dari barisan geometri.
- Tentukan Konvergensi: Periksa apakah barisan geometri konvergen dengan menghitung nilai absolut rasionya ($|r|$). Jika $|r| < 1$, maka barisan konvergen dan dapat dijumlahkan.
- Gunakan Rumus: Setelah mengidentifikasi a dan r, gunakan rumus yang sesuai untuk menghitung jumlah tak hingga suku-suku ($S$) atau suku ke-n ($U_n$).
FAQ tentang Deret Geometri Tak Hingga
- Apa itu deret geometri tak hingga?
Jumlah tak hingga dari suku-suku dalam barisan geometri. - Kapan deret geometri tak hingga konvergen?
Ketika nilai absolut rasionya ($|r|$) kurang dari 1. - Bagaimana menghitung jumlah tak hingga suku-suku dalam deret geometri?
Gunakan rumus: $S = \fraca1-r$, jika $|r| < 1$. - Bagaimana perbedaan antara deret geometri tak hingga dan deret geometri hingga?
Deret geometri hingga memiliki jumlah terbatas suku, sedangkan deret geometri tak hingga memiliki jumlah suku tak terbatas.
Kesimpulan
Deret geometri tak hingga merupakan topik penting dalam matematika, yang memiliki aplikasi dalam berbagai bidang seperti finance, fisika, dan teknik. Dengan memahami konsep dan rumus yang terkait dengan deret geometri, kita dapat memecahkan berbagai soal dan menarik kesimpulan yang bermakna.
Apakah Anda tertarik untuk mempelajari lebih lanjut tentang deret geometri tak hingga?
