Contoh Soal Program Linear Metode Grafik Dan Penyelesaiannya

Contoh Soal Program Linear Metode Grafik dan Penyelesaiannya

Daftar Isi

Dalam dunia bisnis dan ekonomi, pengambilan keputusan yang efektif sangat penting untuk memaksimalkan keuntungan dan efisiensi. Salah satu teknik matematika yang banyak digunakan untuk memecahkan masalah optimisasi adalah program linear. Program linear melibatkan pencarian nilai maksimum atau minimum dari fungsi tujuan, tunduk pada batasan tertentu.

Salah satu metode solusi untuk program linear adalah metode grafik. Metode ini sangat berguna untuk memecahkan masalah dengan dua variabel keputusan. Artikel ini akan menyajikan contoh soal program linear metode grafik dan penyelesaiannya secara detail.

Metode Grafik Program Linear

Metode grafik dalam program linear melibatkan penggambaran garis-garis batasan pada bidang kartesius. Titik-titik yang memenuhi semua batasan adalah titik yang layak. Fungsi tujuan kemudian digambarkan sebagai garis miring, dan titik optimum adalah titik potong fungsi tujuan dengan daerah layak yang memaksimalkan atau meminimalkan fungsi tujuan.

Langkah-langkah dalam metode grafik adalah sebagai berikut:

Gambarkan garis batasan pada bidang kartesius.
Tentukan daerah layak, yaitu area yang dibatasi oleh garis batasan.
Gambarkan fungsi tujuan sebagai garis miring.
Cari titik potong fungsi tujuan dengan daerah layak.
Tentukan nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan di titik optimum.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Sebuah perusahaan memproduksi dua jenis produk, A dan B. Keuntungan yang diperoleh dari setiap unit produk A adalah Rp5.000, sedangkan dari setiap unit produk B adalah Rp6.000. Untuk memproduksi produk A dan B, tersedia waktu produksi masing-masing 8 jam dan 4 jam per hari. Proses produksi membutuhkan dua bahan baku, yaitu bahan baku X dan Y. Setiap unit produk A membutuhkan 1 kg bahan baku X dan 2 kg bahan baku Y, sedangkan setiap unit produk B membutuhkan 2 kg bahan baku X dan 1 kg bahan baku Y. Tersedia 10 kg bahan baku X dan 12 kg bahan baku Y per hari.

Tentukan berapa banyak unit produk A dan B yang harus diproduksi agar perusahaan memperoleh keuntungan maksimum!

Penyelesaian

Tentukan fungsi tujuan.

Fungsi tujuan adalah keuntungan yang akan dimaksimalkan.

Z = 5.000x + 6.000y

di mana x adalah jumlah unit produk A yang diproduksi, dan y adalah jumlah unit produk B yang diproduksi.

Tentukan batasan-batasannya.

Batasan-batasan masalah ini adalah sebagai berikut:

Waktu produksi:
```
x + y ≤ 8
```
Bahan baku X:
```
x + 2y ≤ 10
```
Bahan baku Y:
```
2x + y ≤ 12
```
Non-negatif:
```
x ≥ 0, y ≥ 0
```

Gambarkan garis batasan dan daerah layak.

Garis Batasan	Persamaan	Titik Potong
Waktu Produksi	x + y = 8	(8, 0); (0, 8)
Bahan Baku X	x + 2y = 10	(10, 0); (0, 5)
Bahan Baku Y	2x + y = 12	(6, 0); (0, 12)

Titik-titik potong garis batasan ini membentuk daerah layak sebagai berikut:

Gambarkan fungsi tujuan.

Fungsi tujuan digambarkan sebagai garis miring dengan kemiringan -5/6 dan intercept y sebesar 0.

Tentukan titik optimum.

Titik optimum adalah titik potong fungsi tujuan dengan daerah layak. Dari grafik, titik optimum adalah (2, 4).

Tentukan nilai keuntungan maksimum.

Nilai keuntungan maksimum diperoleh dengan mensubstitusikan nilai x dan y ke dalam fungsi tujuan.

Z = 5.000(2) + 6.000(4) = Rp48.000

Jadi, perusahaan harus memproduksi 2 unit produk A dan 4 unit produk B untuk memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp48.000.

Kesimpulan

Metode grafik merupakan teknik yang efektif untuk memecahkan masalah program linear dengan dua variabel keputusan. Dengan mengikuti langkah-langkah yang tepat, kita dapat menentukan nilai maksimum atau minimum fungsi tujuan dengan mudah. Contoh soal yang telah dibahas memberikan gambaran yang jelas tentang cara menerapkan metode grafik untuk memecahkan masalah dunia nyata dalam optimasi.

Apakah Anda tertarik untuk mempelajari lebih lanjut tentang metode grafik dalam program linear? Jika ya, silakan tinggalkan komentar di bawah!